Se considera el problema de valores iniciales (P.V.I.) 8<: y0(x) = f(x; y(x)); x 2 [a; b]; y(a) = y0 dado, el que supondremos tiene solución única, y : [a; b]
Dada una partición del intervalo [a; b]: a = x0 < x1 < < xN = b; los métodos que hemos visto hasta aquí sólo usan la información del valor yi de la solución calculada en xi para obtener yi+1. Por eso se denominan métodos de paso simple.
Parece razonable pensar que también podrían utilizarse los valores yi.
Para ello, si integramos y0(x) = f(x; y(x)) en el intervalo [xi; xi+1], se tiene: Z xi+1 xi y0(x) dx = Z xi+1 xi f(x; y(x)).
Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.
Ejemplo:
Consiste de un resorte o muelle en espiral suspendido de un soporte rígido con una masa sujeta al extremo. Para analizar este fenómeno usamos la ley de hooke y la segunda ley de newton.
La ley de hooke establece que el resorte ejerce una fuerza de restitución opuesta a la dirección de alargamiento del resorte peso=kl donde k es la constante de restitución y l es el alargamiento hasta la posición de equilibrio. Para aplicar la ley de newton, hay q tener en cuenta q sobre la mas m actúa la fuerza de gravedad (m.g), la fuerza de restitución (-kx-mg donde x es el alargamiento) , la fuerza de amortiguación que es proporcional a la velocidad de la masa )-b(dx/dt) con b la constante de amortiguación ) y las fuerzas externas (F(t)). Así q la ecuación diferencial q resulta es:
M d^2x/dt^2+b dx/dt+kx=f(t)
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb alarga el mismo resorte en 2/5 pie.
Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g
En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s², p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b, la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = - k (s + x) + mg = - kx + mg - ks = - kx
Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:
Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
d²x/dt² + k/m x = 0
o bien d²x/dt² + .²x = 0
En dónde .² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + .²x = 0 describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación:
x(0) = ., dx/dt% = %t = 0
Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si > 0 y < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si < 0 y > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde un punto que está %. %unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.
Solución y ecuación de movimiento:
Para resolver la ecuación d²x/dt² + .²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = .i y Mi = - .i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t.
El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2. /. Y la frecuencia es = 1/T =. /2... Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2. /3 y la frecuencia es 3/2... El primer número indica que hay 3 ciclos de la gráfica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2. oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2. /. es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t mediante las condiciones iniciales
x(0) = ., dx/dt% = %t = 0
Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento.
Ejemplo:
Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
d²x/dt² + 16 x = 0
x(0) = 10, dx/dt% = 0
%t = 0
Solución:
Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:
x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t.
Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0
de modo que C1 = 10 y por lo tanto
x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t.
dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t
dx/dt% = 0 = 4C2 . 1
%t = 0
La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x (t) = 10 cos 4t.
La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2/4 = 2 segundos.
Ejemplo:
Un cuerpo que pesa 2lb se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
Solución:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g
Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene: 2 - k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie.
Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = -4x y d²x/dt² + 64x = 0.
El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:
x(0) = 2/3, dx/dt% = - 4/3
%t = 0
En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.
Ahora bien, .² = 64, osea = 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es:
x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t.
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3)
x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t
x´(t) = - 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t
x´(0) = - 4/3 = - 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = -1/6)
Luego C2 = - 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
x (t) = 2/3 cos 8t - 1/6 sen 8t.
Dada una partición del intervalo [a; b]: a = x0 < x1 < < xN = b; los métodos que hemos visto hasta aquí sólo usan la información del valor yi de la solución calculada en xi para obtener yi+1. Por eso se denominan métodos de paso simple.
Parece razonable pensar que también podrían utilizarse los valores yi.
Para ello, si integramos y0(x) = f(x; y(x)) en el intervalo [xi; xi+1], se tiene: Z xi+1 xi y0(x) dx = Z xi+1 xi f(x; y(x)).
Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.
Ejemplo:
Consiste de un resorte o muelle en espiral suspendido de un soporte rígido con una masa sujeta al extremo. Para analizar este fenómeno usamos la ley de hooke y la segunda ley de newton.
La ley de hooke establece que el resorte ejerce una fuerza de restitución opuesta a la dirección de alargamiento del resorte peso=kl donde k es la constante de restitución y l es el alargamiento hasta la posición de equilibrio. Para aplicar la ley de newton, hay q tener en cuenta q sobre la mas m actúa la fuerza de gravedad (m.g), la fuerza de restitución (-kx-mg donde x es el alargamiento) , la fuerza de amortiguación que es proporcional a la velocidad de la masa )-b(dx/dt) con b la constante de amortiguación ) y las fuerzas externas (F(t)). Así q la ecuación diferencial q resulta es:
M d^2x/dt^2+b dx/dt+kx=f(t)
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb alarga el mismo resorte en 2/5 pie.
Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g
En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s², p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b, la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = - k (s + x) + mg = - kx + mg - ks = - kx
Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:
Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
d²x/dt² + k/m x = 0
o bien d²x/dt² + .²x = 0
En dónde .² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + .²x = 0 describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación:
x(0) = ., dx/dt% = %t = 0
Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si > 0 y < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si < 0 y > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde un punto que está %. %unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.
Solución y ecuación de movimiento:
Para resolver la ecuación d²x/dt² + .²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = .i y Mi = - .i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t.
El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2. /. Y la frecuencia es = 1/T =. /2... Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2. /3 y la frecuencia es 3/2... El primer número indica que hay 3 ciclos de la gráfica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2. oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2. /. es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t mediante las condiciones iniciales
x(0) = ., dx/dt% = %t = 0
Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento.
Ejemplo:
Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
d²x/dt² + 16 x = 0
x(0) = 10, dx/dt% = 0
%t = 0
Solución:
Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:
x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t.
Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0
de modo que C1 = 10 y por lo tanto
x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t.
dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t
dx/dt% = 0 = 4C2 . 1
%t = 0
La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x (t) = 10 cos 4t.
La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2/4 = 2 segundos.
Ejemplo:
Un cuerpo que pesa 2lb se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
Solución:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g
Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene: 2 - k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie.
Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = -4x y d²x/dt² + 64x = 0.
El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:
x(0) = 2/3, dx/dt% = - 4/3
%t = 0
En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.
Ahora bien, .² = 64, osea = 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es:
x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t.
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3)
x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t
x´(t) = - 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t
x´(0) = - 4/3 = - 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = -1/6)
Luego C2 = - 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
x (t) = 2/3 cos 8t - 1/6 sen 8t.
