5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA

5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA

Definición de Derivación Numérica

•       La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Principalmente se utiliza para realizar derivadas que no tienen una solución conocida o que su desarrollo sea muy complicado o demasiado largo. Además es menos costoso calcular la aproximación que el valor exacto. O bien sea porque sólo conocemos los valores de f en un número finito de puntos x.

Formulación mediante diferencias finitas

•       El método más sencillo para estimar numéricamente derivadas parece evidente: tómese h lo suficientemente pequeño para que la diferencia entre el cociente incremental y su límite cuando h →0 sea menor que la precisión deseada.

Por definición, la derivada de una función F(x) es:

f^′ (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

  Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:

   La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales:

f^′ (x_0 )≈  (f(x_0+h)-f(x_0-h))/2h

f′′(x_0)≈(f(x_0+h)-2f(x_0 )+f(x_0-h))/h^2

Ejemplo

•Encontrar la primer derivada con el método de diferencias finitas:

  f(x)=sen(x)

  x=2, h=0.001

•Diferencias hacia delante

•Diferencias hacia atrás

Comprobar con reglas de derivación