UNIDAD 5. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMERICA

5.2 INTEGRACION NUMERICA

Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valores tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinomial de la función.

MÉTODO DE TRAPECIO

Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se construye el polinomio de Lagrange de grado uno.

ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación

ahora,la integral de ƒ(x).

La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio.

REGLA DE SIMPSON

Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2. 

Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde.

Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y (x2, ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora  La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:

 Luego ,                 

Por lo tanto.

 

Esta expresión se conoce como regla de simpson.

El error en la aproximación es