UNIDAD 4. AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLACIÓN

4.1 Interpolación Lineal y Cuadrática

INTRODUCCIÓN...

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podrían usarse para estimar razonablemente, algunas prediciiones de este tipo pueden obtenerse usando una función que ajuste los datos. Este es un tema llamadoInterpolación.

INTERPOLACIÓN 

El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas palabras podriamos decir que:

"La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos".

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(x_o, y_o), (x₁, y₁),........., (x_n, y_n)

y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x₀ y x_n) de esta función.

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(x_o, y_o), (x₁, y₁), .............., (x_n, y_n)

Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.

Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.

La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio de grado n:   y= a_nxⁿ+............+a₁x+a_o

Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres. 

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. (Lagrange)

Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2)

El error en la interpolación lineal resulta de aproximar una curva con una línea recta.

Estrategias: 

– Disminuir el tamaño del intervalo.
– Introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos.