6.3 Métodos de pasos múltiples

Se considera el problema de valores iniciales (P.V.I.) 8<: y0(x) = f(x; y(x)); x 2 [a; b]; y(a) = y0 dado, el que supondremos tiene solución única, y : [a; b]
Dada una partición del intervalo [a; b]: a = x0 < x1 <    < xN = b; los métodos que hemos visto hasta aquí sólo usan la información del valor yi de la solución calculada en xi para obtener yi+1. Por eso se denominan métodos de paso simple.
Parece razonable pensar que también podrían utilizarse los valores yi.
Para ello, si integramos y0(x) = f(x; y(x)) en el intervalo [xi; xi+1], se tiene: Z xi+1 xi y0(x) dx = Z xi+1 xi f(x; y(x)).

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.
Ejemplo:

Consiste de un resorte o muelle en espiral suspendido de un soporte rígido con una masa sujeta al extremo. Para analizar este fenómeno usamos la ley de hooke y la segunda ley de newton.
La ley de hooke establece que el resorte ejerce una fuerza de restitución  opuesta a la dirección de alargamiento  del resorte peso=kl donde k es la constante de restitución y l es el alargamiento hasta la posición de equilibrio. Para aplicar la ley de newton, hay q tener en cuenta q sobre la mas m actúa la fuerza de gravedad  (m.g), la fuerza de restitución (-kx-mg donde x es el alargamiento) , la fuerza de amortiguación que es proporcional a la velocidad de la masa )-b(dx/dt) con b la constante de amortiguación ) y las fuerzas externas (F(t)). Así q la ecuación diferencial q resulta es:

M  d^2x/dt^2+b dx/dt+kx=f(t)

La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb alarga el mismo resorte en 2/5 pie.
Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g
En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s², p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b, la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = - k (s + x) + mg = - kx + mg - ks = - kx
Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:
Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
d²x/dt² + k/m x = 0
o bien d²x/dt² + .²x = 0
En dónde .² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + .²x = 0 describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación:
x(0) = ., dx/dt% = %t = 0
Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si > 0 y  < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si < 0 y  > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde un punto que está %. %unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.



Solución y ecuación de movimiento:
Para resolver la ecuación d²x/dt² + .²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = .i y Mi = - .i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t.
El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2. /. Y la frecuencia es = 1/T =. /2... Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2. /3 y la frecuencia es 3/2... El primer número indica que hay 3 ciclos de la gráfica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2. oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2. /. es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t mediante las condiciones iniciales
x(0) = ., dx/dt% = %t = 0
Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento.
Ejemplo:
Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
d²x/dt² + 16 x = 0
x(0) = 10, dx/dt% = 0
%t = 0
Solución:
Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:
x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t.
Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 .  0
de modo que C1 = 10 y por lo tanto
x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t.
dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t
dx/dt% = 0 = 4C2 . 1
%t = 0
La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x (t) = 10 cos 4t.
La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2/4 = 2 segundos.
Ejemplo:
Un cuerpo que pesa 2lb se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
Solución:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g
Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene: 2 - k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie.
Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = -4x y d²x/dt² + 64x = 0.
El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:
x(0) = 2/3, dx/dt% = - 4/3
%t = 0
En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.
Ahora bien, .² = 64, osea = 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es:
x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t.
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3)
x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t
x´(t) = - 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t
x´(0) = - 4/3 = - 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = -1/6)
Luego C2 = - 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
x (t) = 2/3 cos 8t - 1/6 sen 8t.

6.4 Aplicaciones a la Ingeniería

Esta es un ejemplo a la aplicacion en Ingeniería Mecánica. Consiste de un resorte o muelle en espiral que está suspendido de un soporte rígido con una masa sujeta al extremo. Para poder analizar este fenómeno, utilizamos l a ley de Hooke y la segunda ley de Newton.

La ley de Hooke establece que el resorte ejerce una fuerza de restitución opuesta a la dirección de alargamiento del resorte peso=kl, donde k es la constante de restitución y l es el alargamiento hasta la posición de equilibrio.

Para aplicar la ley de Newton, hay que tener en cuenta que sobre la masa m actúa actúa la fuerza de gravedad (m g), la fuerza de restitución (-kx-mg donde x es el alargamiento), la fuerza de amortiguación que es proporcional a la velocidad de la masa -b(dx/dt) y las fuerzas externas(F(t)). Así que la ecuación diferencial que resulta es:

M d^2x/dt^2+b dx/dt+kx= f(t)

6.2 MÉTODOS DE UN PASO: MÉTODO DE EULER, EULER MEJORADO Y MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

Método de Euler

El método de Euler es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema del siguiente tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos que van de x0 a xf en n subintervalos de ancho h;
Osea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos: x0, x1, x2, ... , xn del intervalo de interés [x0,xf]. Para cualquiera de estos puntos de cumple que:

 0<i<n.

La condición inicial y(x0)=y0, representa el punto P0=(x0,y0) por donde pasa la curva solución de la ecuación del plantamiento inicial, la cual se denotará cmo F(x)=y.

Ya teniendo el punto P0 se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto; por lo tanto:

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por Po y dependiente f(xo,yo). Esta rect aproxima F(x) en vecinidad de xo. Tómese la recta como reemplazo de F(x) y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a x1. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

Se resuelve para y1:

Es evidente que la ordenada y1 calculada de esta manera no es igual a F(x1), pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor y1 sirve para que se aproxime a F'(x) en el punto P=(x1,y1) y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Método de Euler Mejorado.

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Donde:

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, ve,os que la pendiente promedio correspondiente a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial a la "recta tangente" a la curva en el punto (x1,y1). Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición incial, y se considera el valor de esta recta en el punto x=x1 como la aproximación de Euler Mejorada. A continuación se muestra un vídeo demostrativo del Método de Euler y de Euler Mejorado, con ejemplo:

Método de Runge-Kutta

Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de la serie de Taylor sin necesitar el cálculo de derivadas de orden superior

yi+1 = yi + f(xi, yi, h)h 

donde f(xi, yi, h) se conoce como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma general como

f = a1k1 + a2k2 + · · · + ankn 

donde las a son constantes y las k son

k1 = ƒ(xi, yi) 

 k2 = ƒ(xi + p1h, yi + q11k1h) 

k3 = ƒ(xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h) 

· · · 

kn = ƒ(xi + pn–1h, yi + qn–1,1k1h + qn–1,2k2h +···+ qn–1,n–1kn–1h) 

donde las p y las q son constantes. Observe que las k son relaciones de recurrencia. Es decir, k1 aparece en la ecuación k2, la cual aparece en la ecuación k3, etcétera. Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia vuelve eficientes a los métodos RK para cálculos en computadora.

 Es posible tener varios tipos de métodos de Runge-Kutta empleando diferentes números de términos en la función incremento especificada por n. Observe que el método de Runge-Kutta (RK) de primer orden con n = 1 es, de hecho, el método de Euler. Una vez que se elige n, se evalúan las a, p y q igualando la ecuación (25.28) a los términos en la expansión de la serie de Taylor (cuadro 25.1). Así, al menos para las versiones de orden inferior, el número de términos, n, por lo común representa el orden de la aproximación. Por ejemplo, en la siguiente sección, los métodos RK de segundo orden usan la función incremento con dos términos (n = 2). Esos métodos de segundo orden serán exactos si la solución de la ecuación diferencial es cuadrática. Además, como los términos con h3 y mayores se eliminan durante la deducción, el error de truncamiento local es O(h3) y el global es O(h2). En secciones subsecuentes desarrollaremos los métodos RK de tercer y cuarto órdenes (n = 3 y 4, respectivamente). En tales casos, los errores de truncamiento global son O(h3) y O(h4). 

UNIDAD 6 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

6.1 Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen enEcuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde  representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, ,  es la derivada de  con respecto a .

• La expresión

es una ecuación en derivadas parciales.

• A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

  Orden de la ecuación

  El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
  Grado de la ecuación
  Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

  Ecuación diferencial lineal

  Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
  • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
  • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
  • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
  • Ejemplos:

    •  es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    •  es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    •  es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

5.4 APLICACIONES

Algunas aplicaciones que nos sirven de ejemplo en la ingeniería son:

En derivación:

• Cálculo de volúmenes inscritos.
• Los máximos y mínimos que son la técnica más exacta para poder implementar al momento de construir sin desperdiciar menos cantidad de material.
• Para la física se implementa para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
• Para calcular la razón de cambio de una empresa. Los métodos del punto de equilibrio utilizan cálculo de ello.

En integración:

• Construir una presa mediante el cálculo de las áreas comprendidas entre dos puntos.
• Cálculo de volúmenes de revolución.
• Para la física se implementa en la ley para obtener la fórmulas necesarias para trabajar ya sea en un plano de 2 o 3 dimensiones.
• Para la dinámica y estática de partículas.
• Determinación de la cantidad de calor.

EJEMPLO (Integración para determinar la fuerza efectiva sobre el mastil de un bote, Ing. Civil/Ambiental)

5.3 INTEGRACION POR INTERVALOS DESIGUALES

Las fórmulas de integración numérica se han basado en datos igualmente espaciados. En la práctica, existen muchas situaciones en donde esta suposición no se satisface y se tienen segmentos de tamaños desiguales.

Las fórmulas de integración numérica se han basado en datos igualmente espaciados. En la práctica, existen muchas situaciones en donde esta suposición no se satisface y se tienen segmentos de tamaños desiguales.

Un método consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento y sumar los resultados:

 

Donde h1,h2,h3,hn = el ancho del segmento 1,2,3,n respectivamente.

Observe que éste fue el mismo procedimiento que se utilizó en la regla del trapecio de aplicación múltiple. La única diferencia entre dichas ecuaciones es que las h en la primera son constantes.

En algunos segmentos adyacentes son de la misma anchura y, en consecuencia, podrían evaluarse mediante las reglas de Simpson. Esto a resultados más usualmente lleva precisos

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual,  se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico:Cuando la longitud de los subintervalos no es igual,  se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico:

1 .- Simpson 3/8        

        Esta se aplica, si contamos con  4  puntos igualmente espaciados.

2 .-  Simpson  1/3 

        Esta   se    aplica   si  falla  (1)  y   contamos  con 3  puntos   igualmente espaciados.

3 .-  Regla Trapezoidal     

        Solo se aplica  si no se cumple (1)  y (2)

Ejemplo 1.

Evaluar    , usando la siguiente tabla :

 

Solución.

Vemos que en el intervalo  [0,0.1]  podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7]  la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo  [0.7,1.2]  la regla de Simpson de 1/3. Así, tenemos las siguientes integrales:

                 

 

Finalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores:  

UNIDAD 5. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMERICA

5.2 INTEGRACION NUMERICA

Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valores tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinomial de la función.

MÉTODO DE TRAPECIO

Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se construye el polinomio de Lagrange de grado uno.

ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación

ahora,la integral de ƒ(x).

La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio.

REGLA DE SIMPSON

Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2. 

Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde.

Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y (x2, ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora  La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:

 Luego ,                 

Por lo tanto.

 

Esta expresión se conoce como regla de simpson.

El error en la aproximación es

5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA

5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA

Definición de Derivación Numérica

•       La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Principalmente se utiliza para realizar derivadas que no tienen una solución conocida o que su desarrollo sea muy complicado o demasiado largo. Además es menos costoso calcular la aproximación que el valor exacto. O bien sea porque sólo conocemos los valores de f en un número finito de puntos x.

Formulación mediante diferencias finitas

•       El método más sencillo para estimar numéricamente derivadas parece evidente: tómese h lo suficientemente pequeño para que la diferencia entre el cociente incremental y su límite cuando h →0 sea menor que la precisión deseada.

Por definición, la derivada de una función F(x) es:

f^′ (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

  Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:

   La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales:

f^′ (x_0 )≈  (f(x_0+h)-f(x_0-h))/2h

f′′(x_0)≈(f(x_0+h)-2f(x_0 )+f(x_0-h))/h^2

Ejemplo

•Encontrar la primer derivada con el método de diferencias finitas:

  f(x)=sen(x)

  x=2, h=0.001

•Diferencias hacia delante

•Diferencias hacia atrás

Comprobar con reglas de derivación